BCS 발표 1
0. Fermi-Dirac 통계에 따른 운동량 공간에서 전자의 역학
1. free & isotropic system에서 고체의 band 구조
hole의 creation operator를 만들어서 에너지가 반전되는 것 (Hamiltonian으로 보임)
2. electron interaction을 매개하는 Phonon이 electron attraction을 매개할 수 있음.
일단 fermi surface 근처에서 반대 운동량인 충동 상황만 생각함.
$$\langle II|H_{e-ph-e}|I\rangle\\ \nonumber = \frac{1}{2}\sum_{i=1,2}\langle II|H_{e-ph-e}|i\rangle \left(\frac{1}{E_{II}-E_i}+\frac{1}{E_I-E_i}\right)\langle Ii|H_{e-ph-e}|I\rangle\\ \nonumber =W^*_\mathbf{q}\left(\frac{1}{\epsilon_{\mathbf{p}'_1}-\epsilon_{\mathbf{p}_1}-\hbar\omega_\mathbf{q}}+\frac{1}{\epsilon_{\mathbf{p}'_2}-\epsilon_{\mathbf{p}_2}-\hbar\omega_\mathbf{q}}\right)W_\mathbf{q} \\ \nonumber =\frac{|W_\mathbf{q}|^2}{\hbar}\left(\frac{1}{\omega-\omega_\mathbf{q}}-\frac{1}{\omega+\omega_\mathbf{q}}\right)=\frac{2|W_\mathbf{q}|^2}{\hbar}\frac{\omega_\mathbf{q}}{\omega^2-\omega^2_\mathbf{q}}$$
여기서 $|\omega|<\omega_{\mathbf{q}}$면 matrix element가 음수여서 끌어당김. $\omega_{\mathbf{q}}$는 phonon에너지, $\omega$는 하나 electron 에너지 차이 (에너지 보존은 I와 II상태끼리 같음을 말해줌. 중간과정은 양자적이라 x)
여기서 orbital momentum이 $L=0$이라 하는데 뭔지 모르겠음.
Perturbation theory 공부해서 Interaction Hamiltonian으로부터 식 유도 다시.
그리고 phonon의 정의부터 interaction Hamiltonian유도해봄.
포논-전자 상호작용 해밀토니안을 유도하는 과정은 격자의 진동(포논)이 전자의 운동과 에너지에 미치는 영향을 설명하는 물리적 개념에서 시작됩니다. 이 해밀토니안은 고체 물리학에서 매우 중요한 역할을 하며, 특히 **BCS 이론**에서 초전도 현상이나 전자의 산란 과정을 설명하는 데 필수적입니다. 지금부터 **포논-전자 상호작용 해밀토니안**을 유도하는 과정을 단계적으로 설명하겠습니다.
### 1. **격자 진동(포논)과 전자의 상호작용 기초**
먼저 고체에서의 **격자 진동**과 **전자**의 운동이 어떻게 상호작용하는지를 이해해야 합니다. 결정 격자 내의 원자들이 진동하면 전자가 이 진동에 영향을 받습니다. 이 진동은 전자에게는 일종의 **퍼텐셜 에너지**로 작용합니다.
격자의 변위를 양자화하면 **포논**으로 표현됩니다. 이 포논은 격자의 집단적인 진동을 나타내는 입자로, 포논의 생성과 소멸이 전자와의 상호작용을 통해 이루어집니다.
### 2. **전자의 해밀토니안**
먼저, 격자 내에서 자유 전자의 해밀토니안은 다음과 같이 주어집니다.
$$H_{\text{el}} = \sum_{\mathbf{k}} \epsilon_{\mathbf{k}} c_{\mathbf{k}}^\dagger c_{\mathbf{k}}$$
여기서:
- $\epsilon_{\mathbf{k}}$는 전자의 운동 에너지로, $\epsilon_{\mathbf{k}} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$입니다.
- $c_{\mathbf{k}}^\dagger$와 $c_{\mathbf{k}}$는 각각 전자의 생성 연산자와 소멸 연산자입니다.
이 해밀토니안은 전자의 운동량 $\mathbf{k}$와 에너지를 나타냅니다. 이제 이 전자들이 **격자의 진동**(포논)과 어떻게 상호작용하는지 살펴보겠습니다.
### 3. **격자 변위와 포논의 양자화**
격자의 원자가 진동하면, 그 원자들의 **변위**는 전자가 느끼는 퍼텐셜에 영향을 미치게 됩니다. 격자의 변위 $\mathbf{u}(\mathbf{R})$는 특정 위치 $\mathbf{R}$에서의 원자의 위치 변화를 나타내며, 이를 수학적으로 표현하면:
$$\mathbf{u}(\mathbf{R}) = \sum_{\mathbf{q}, \nu} \sqrt{\frac{\hbar}{2M \omega_{\mathbf{q}, \nu}}} \left( b_{\mathbf{q}, \nu} e^{i\mathbf{q} \cdot \mathbf{R}} + b_{\mathbf{q}, \nu}^\dagger e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{R}} \right)$$
여기서:
- $\mathbf{q}$는 포논의 운동량 벡터,
- $\nu$는 포논 모드(음향 모드 또는 광학 모드),
- $\omega_{\mathbf{q}, \nu}$는 특정 모드에서의 진동 주파수,
- $b_{\mathbf{q}, \nu}$와 $b_{\mathbf{q}, \nu}^\dagger$는 각각 포논의 소멸 및 생성 연산자,
- $M$은 격자를 이루는 원자의 질량입니다.
이 표현은 **포논의 양자화**를 통해 격자의 변위가 어떻게 양자화된 진동 모드(포논)로 설명될 수 있는지 나타냅니다.
### 4. **격자 변위가 전자에 미치는 영향**
격자의 변위는 전자가 느끼는 **퍼텐셜 에너지**에 변화를 일으킵니다. 전자가 있는 위치에서 격자가 변위하면, 그에 따른 전자의 상호작용 퍼텐셜이 달라집니다. 이 상호작용 퍼텐셜 $V_{\text{el-ph}}(\mathbf{r})$은 격자의 변위 $\mathbf{u}(\mathbf{R})$에 비례합니다.
$$V_{\text{el-ph}}(\mathbf{r}) = \gamma \mathbf{u}(\mathbf{R})$$
여기서 $\gamma$는 결합 상수로, 전자와 격자 변위 사이의 상호작용 강도를 나타냅니다. 이 상호작용을 양자화된 포논 연산자로 대체하면:
$$V_{\text{el-ph}}(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{q}, \nu} g(\mathbf{q}, \nu) \left( b_{\mathbf{q}, \nu} e^{i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} + b_{\mathbf{q}, \nu}^\dagger e^{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} \right)$$
여기서 $g(\mathbf{q}, \nu)$$는 전자-포논 결합 상수입니다. 이 결합 상수는 전자와 포논 간의 상호작용 강도를 나타내며, 전자의 운동량 벡터 $$\mathbf{k}$$와 포논의 운동량 벡터 $$\mathbf{q}$$에 따라 달라집니다.
### 5. **포논-전자 상호작용 해밀토니안 유도**
이제 전자와 포논 사이의 상호작용을 나타내는 해밀토니안을 구할 수 있습니다. 전자-포논 상호작용 해밀토니안은 전자가 포논을 흡수하거나 방출하면서 운동량이 변하는 과정에서 포논이 전자의 상태에 미치는 영향을 설명합니다.
전체 포논-전자 상호작용 해밀토니안은 다음과 같습니다.
$$H_{\text{el-ph}} = \sum_{\mathbf{k}, \mathbf{k'}, \mathbf{q}, \nu} g(\mathbf{q}, \nu) c_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^\dagger c_{\mathbf{k}} \left( b_{\mathbf{q}, \nu}^\dagger + b_{-\mathbf{q}, \nu} \right)$$
여기서:
- $c_{\mathbf{k}}$와 $c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}}$는 각각 전자의 소멸 연산자와 생성 연산자입니다.
- $b_{\mathbf{q}, \nu}^\dagger$와 $b_{\mathbf{q}, \nu}$는 각각 포논의 생성 연산자와 소멸 연산자입니다.
- $g(\mathbf{q}, \nu)$는 전자와 포논 사이의 결합 상수입니다.
이 해밀토니안은 포논과 전자가 상호작용하여 전자의 운동량이 변하고, 포논이 흡수 또는 방출되는 과정을 묘사합니다.
### 6. **전자-포논 결합 상수 $g(\mathbf{q}, \nu)$**
전자와 포논 사이의 결합 상수 $g(\mathbf{q}, \nu)$는 전자가 격자의 진동에 얼마나 강하게 결합되어 있는지를 나타냅니다. 이 값은 포논의 모드와 운동량에 따라 달라지며, 일반적으로 물리적 매개변수(격자의 물리적 특성, 전자의 이동성 등)에 따라 결정됩니다.
### 7. **결론**
포논-전자 상호작용 해밀토니안은 전자와 격자의 진동(포논) 사이의 상호작용을 양자역학적으로 설명하는 수식입니다. 이 해밀토니안은 전자가 포논을 흡수하거나 방출하는 과정을 통해 운동량 상태를 변화시키며, 이는 고체 물리학에서 중요한 전자 산란, 저항, 초전도체 현상 등을 설명하는 데 사용됩니다.
요약하면:
1. **격자 진동(포논)**이 전자에 미치는 영향을 양자화된 형태로 표현.
2. **격자 변위**에 의해 전자의 퍼텐셜 에너지가 변화함.
3. 이를 통해 **포논-전자 상호작용 해밀토니안**을 유도, 전자와 포논의 상호작용을 수학적으로 기술.
결국, 이 상호작용은 초전도체에서 전자들이 포논을 매개로 서로 간접적으로 상호작용하여 **쿠퍼 페어**를 형성하는 메커니즘을 설명하게 됩니다.
3. Cooper Pair의 Wave function과 Bond Energy를 구해봄 (Ground State 탐구)
반대 운동량을 가지는 up과 down의 Schrodinger equation구하고, 푸리에 변환해서 품.
(ground state에서 두 전자가 평면파를 따른다고 가정. 사실 이미 운동량 상태 정했음)
에너지가 음수인 bound 상태가 있는데, strong coupling $N(0)W\gg 1$일 때 결합 에너지 크기가 커짐.
($N(0)$는 Fermi surface에서 전자 개수, $W$는 상호작용)
추가로 BEC되서 같은 양자상태 가지고, 전류 어쩌고 하는데 모르겠음.
계산 하는거에서 왜 $psi(r)$인지 (운동에너지 인줄)부터 다시 유도
4. Bond Energy $E_b$를 Cooper Pair order parameter $\Delta$와 연관시킴
Cooper pair의 결합 에너지와 Cooper pair의 형성 정도는 관련이 있음.
결합 에너지는 Cooper pair가 깨질 때 필요한 에너지임.
즉 ground state(Cooper pair)에서 excited state(Bogoliubov quasiparticle)로 가는데 필요한 에너지임.
정확한 관계는 BCS모델을 풀어서 구하자.
5. Hubbard Model -(Mean Field)-> BCS Model -(Diagonalize)-> Bogolubov Equation
$$H_{BCS}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}E_\mathbf{k}\gamma^\dagger_{\mathbf{k}\sigma}\gamma_{\mathbf{k}\sigma}+E_{cond}$$
Order parameter를 평균내도 되는 이유
6. $\Delta$를 Bogoliubov quasiparticles (Excited State)의 gap과 연관시킴
열심히 구해보면(아직 안따라가봄) 에너지 스펙트럼을 구할 수 있음.
$$E_\mathbf{k}=\sqrt{\xi^2_\mathbf{k}+|\Delta_\mathbf{k}|^2}$$
즉 gap 이상의 에너지가 있어야 ground state인 Cooper pair를 깨고 Bogoliubov quasiparticle을 만들 수 있음.
7. Superconducting order parameter $\Delta$를 $\gamma$의 expectation value로부터 구함.
$$\Delta_\mathbf{k}=-\sum_{\mathbf{k}'}W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}u_{\mathbf{k}'}v^*_{\mathbf{k}'}[1-2f(E_{\mathbf{k}'})]$$
즉 Bol어쩌고 equation 풀면 gap을 구할 수 있음. (어케푸는지 모름)
8. Landau-Ginzberg로 상전이 설명 (모름)