Niizeki-Gahler Kitaev Model

 https://arxiv.org/abs/2006.11549

보내준 reference기준으로 exercise 2에서 4까지가 메인 task라고 생각하면 됩니다.

순서는 보내준 reference의 앞부분을 간단하게 공부하고 exercise 2,3을 혼자서 체크해본 뒤에 exercise 4 및 아래 핵심 task로 넘어가도록 하세요.

우선 학생이 찾은 방식대로 Kitaev model을 구성하면 Majorana factorization이랑 flux conservation까지는 (즉 local property들은) 보장이 되는 걸로 보입니다.

학생이 가장 먼저 체크해봐야 할 부분은 지금 Kitaev interaction형태가 lattice 대칭성을 지키는지 여부에요. 단순히 한 vertex에 x,y,z가 연결되는 것만 생각하면 학생이 한 것처럼 사각형 plaquette의 경우 degree of freedom이 있어보이지만 lattice symmetry를 고려하면 이러한 자유도가 사라질 수 있어요. 구체적으로 지금 lattice의 가운데 비대칭 영역을 제외하지 않고 보면 lattice 전체에는 mirror symmetry (mirror plane 한 개)만 있었던 것 같은데 그러면 거울 반전 시켰을 떄 Hamiltonian이 invariant해야 하기 때문에 interaction type을 완전히 free하게 설정할 수는 없어요. 아마도 dodecagonal symmetric하게 설정하는 건 너무 restriction이 커서 어려울 것 같으니까 가운데 비대칭인 부분은 남겨두고 하는 것으로 합시다.

우리의 경우에 edge-to-edge조건이 성립하는 타일링이기 때문에 plaquette operator는 동일한 방식으로 주어지고 commutation relation도 문제는 없어 보입니다. (reference의 B_p와 같이 주어지는 꼴) 그러면 Majorana factorization했을 때 형태 자체는 보내준 reference기준 6번과 7번 식의 보존량과 헤밀토니안을 따르게 될거에요. (exercise 4 참고)

Exercise 4까지 풀고 Kitaev model에 대한 어느정도 이해가 됐다면 그 다음으로 핵심 task가 될 건 마요라나 헤밀토니안 안에 들어갈 gauge field인 u_ij를 어떻게 처리하는가입니다. 일반적으로 honeycomb lattice나 bipartite system의 경우에는 Lieb's (generalized) theorem을 적용해 볼 수 있겠지만 우리 경우는 7각형이 있기 떄문에 Majorana tight binding model이 bipartie가 아니고 따라서 기존 theorem을 적용할 수 없기 때문에 flux free가 minimum energy라는 보장도 할 수 없어요.

따라서 당장은 numerical하게 minimum energy를 갖도록 하는 flux pattern을 찾을 수 밖에 없습니다. u_ij 자체는 physical observable이 아니기 때문에 각 plaquette의 flux를 정하고 그 뒤에 u_ij를 설정하는 게 쉬울겁니다. u_ij와 plaquette모두 +1 또는 -1의 값을 갖기 때문에 (이것도 왜 그런지 체크하세요) 시스템 사이즈가 그리 크지 않다면 ising model에서 Monte Carlo하듯이 접근해도 될겁니다.