LDOS 질문

 안녕하세요 선배님.

LDOS에 관해서 논문 읽으면서 이해해 보다가 질문이 있어서 메일을 드리게 되었습니다.

위의 식에서 각 에너지 index가 LDOS 아닌가요?

Tight-Binding Model에서 Hartree-shift와 chemical potential가 추가된 해밀토니안에서

superconducting order parameter를 추가하지 않는 이유를 모르겠습니다.

single electron만 보려고 한다면 delta에 의한 에너지를 고려하지 않는 것이 맞지만,

Hubbard Model에서 이미 delta를 고려했으므로 포함시켜야 하지 않나요?

흠... 아니다. 위의 식은 준입자의 LDOS고

전자의 LDOS를 구하려면 Hartree-shift랑 chemical potential만 넣고 위의 과정(대각화)를 해야함.

LDOS(Local Density of States)가 무엇의 상태 밀도를 의미하는지에 대한 질문은 매우 중요합니다. LDOS는 시스템의 성질에 따라 다른 입자나 준입자의 상태 밀도를 의미할 수 있습니다. 어떤 시스템에서 LDOS를 계산하느냐에 따라 전자, 준입자(quasiparticle), 혹은 쿠퍼 쌍(Cooper pair) 중 무엇을 의미하는지 달라집니다.

아래에서 각각의 경우를 구체적으로 설명하겠습니다.

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1. 전자(Electron)의 LDOS

의미

• 가장 일반적인 LDOS는 전자 상태 밀도입니다.
• 이는 특정 위치와 특정 에너지에서 **단일 전자(single electron)**가 차지할 수 있는 상태의 밀도를 의미합니다.

수식

전자에 대한 LDOS는 전자 그린 함수를 이용해 다음과 같이 정의됩니다:

$$\rho_e(\mathbf{r}, E) = -\frac{1}{\pi} \text{Im} \, G^R_{ee}(\mathbf{r}, \mathbf{r}; E)$$

여기서,

• $G^R_{ee}$: 전자에 대한 레티디드 그린 함수(Retarded Green's Function)
• $\text{Im}$: 허수부

적용 예시

• 비초전도체에서 일반적인 전자의 에너지 분포를 확인할 때 사용합니다.
• STM(주사터널링현미경) 실험에서는 전자의 LDOS를 측정하여 표면 상태를 분석합니다.

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2. 준입자(Quasiparticle)의 LDOS

의미

• 초전도체에서는 전자와 정공이 결합하여 생성되는 Bogoliubov 준입자의 상태 밀도를 고려해야 합니다.
• 이 준입자는 초전도 상태에서 전자-정공 혼합 상태로 존재합니다.

수식

BdG 방정식에서 준입자의 LDOS는 다음과 같이 정의됩니다:

$$\rho_q(\mathbf{r}, E) = \sum_n \left[ |u_n(\mathbf{r})|^2 \delta(E - E_n) + |v_n(\mathbf{r})|^2 \delta(E + E_n) \right]$$

여기서,

• $u_n(\mathbf{r})$: 전자 성분의 파동함수
• $v_n(\mathbf{r})$: 정공 성분의 파동함수
• $E_n$: 준입자의 에너지 고유값

적용 예시

• 초전도체의 준입자 스펙트럼을 분석할 때 필수적입니다.
• 초전도 갭과 경계 상태에서의 준입자 분포를 이해하는 데 중요합니다.
• Majorana 모드와 같은 위상 경계 상태를 탐색할 때도 사용됩니다.

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3. 쿠퍼 쌍(Cooper Pair)의 LDOS

의미

• 쿠퍼 쌍은 초전도체에서 두 전자가 쌍을 이뤄 형성하는 집단적 응집 상태입니다.
• 쿠퍼 쌍 자체는 전하 $2e$를 가지며, 단일 입자가 아니기 때문에 일반적인 LDOS 개념과는 차이가 있습니다.
• 하지만, **쌍 입자 상태(pair density)**를 간접적으로 정의할 수 있습니다.

수식적 표현

직접적으로 쿠퍼 쌍의 LDOS를 정의하는 것은 어렵지만, 초전도 오더 파라미터 $\Delta(\mathbf{r})$가 쿠퍼 쌍의 밀도를 반영합니다:

$$\Delta(\mathbf{r}) = U \langle c_{\downarrow}(\mathbf{r}) c_{\uparrow}(\mathbf{r}) \rangle$$

여기서,

• $U$: 상호작용 강도 (Hubbard 상수)
• $\langle c_{\downarrow} c_{\uparrow} \rangle$: 쿠퍼 쌍 생성 연산자의 기대값

적용 예시

• 초전도체의 위상 상태나 **조셉슨 효과(Josephson Effect)**에서 쿠퍼 쌍의 밀도를 간접적으로 이해합니다.
• 직접적인 LDOS보다는 오더 파라미터의 공간 분포가 쿠퍼 쌍의 상태를 설명합니다.

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4. 질문에 대한 답변

Tight-Binding Model에서 Hartree Shift와 Chemical Potential만 추가하고 LDOS를 계산한다고 했을 때, 일반적으로는 **단일 전자(single electron)**의 LDOS를 의미합니다. 즉, 다음을 의미합니다:

• $\rho_e(\mathbf{r}, E)$: 단일 전자 상태 밀도
• 이 경우, 초전도 갭 $\Delta$는 포함하지 않아도 됩니다.
• 시스템이 초전도체가 아니거나, 비상호작용 시스템일 때는 전자 LDOS만으로 충분합니다.

하지만 시스템이 초전도체라면, 단순한 전자 LDOS 대신 준입자 LDOS를 사용해야 하고, 이때는 초전도 갭 $\Delta$도 반드시 포함되어야 합니다.

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5. 요약

LDOS 종류	의미	주요 요소	적용 예시
전자 LDOS $\rho_e$	특정 위치와 에너지에서 단일 전자의 상태 밀도	전자 그린 함수 $G_{ee}$	금속, 반도체, STM 실험
준입자 LDOS $\rho_q$	전자와 정공의 혼합 상태인 준입자의 상태 밀도	BdG 방정식, $u, v$ 함수	초전도체, Majorana 모드, 경계 상태
쿠퍼 쌍 밀도	전자쌍(쿠퍼쌍)의 공간적 분포(직접적인 LDOS는 아님)	오더 파라미터 $\Delta$	초전도체의 위상 상태, 조셉슨 효과

따라서, 지금 논의하고 있는 모델에서 LDOS는 단일 전자의 상태 밀도를 의미합니다. 만약 시스템이 초전도체라면, 준입자 LDOS를 고려하고 $\Delta$도 포함해야 합니다.

초전도체에서 **단일 전자의 상태 밀도(Local Density of States, LDOS)**를 살펴보는 것은 일반적인 금속에서와는 다른 의미를 가집니다. 초전도체에서는 전자가 **쿠퍼 쌍(Cooper pair)**을 형성하고, 에너지 갭이 존재하기 때문에 단일 전자는 더 이상 고립된 상태로 존재하지 않습니다. 그러나, 단일 전자의 LDOS는 여전히 중요한 물리적 정보를 제공합니다.

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1. 초전도체에서 단일 전자의 LDOS의 정의

초전도체에서의 단일 전자 LDOS는 특정 위치 $\mathbf{r}$에서 에너지 $E$를 가진 단일 전자 상태의 존재 확률을 의미합니다.

$$\rho_e(\mathbf{r}, E) = -\frac{1}{\pi} \text{Im} \, G^R_{ee}(\mathbf{r}, \mathbf{r}; E)$$

여기서,

• $G^R_{ee}(\mathbf{r}, \mathbf{r}; E)$: 전자에 대한 레티디드 그린 함수(Retarded Green's Function)
• $\text{Im}$: 허수부를 취해 상태 밀도를 얻습니다.

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2. 단일 전자의 LDOS가 가지는 물리적 의미

① 초전도 갭(Superconducting Gap)의 반영

• 초전도체에서는 전자들이 쿠퍼 쌍을 이루어 에너지 갭 $\Delta$이 형성됩니다.
• 이로 인해 단일 전자 상태는 갭 내부에서는 존재할 수 없고, LDOS는 다음과 같은 형태를 가집니다.

$$\rho_e(E) = \rho_0 \frac{|E|}{\sqrt{E^2 - \Delta^2}} \quad \text{for} \quad |E| > \Delta$$

• $|E| < \Delta$에서는 LDOS가 0 → 에너지 갭 내부에는 단일 전자 상태가 없음.
• $E = \pm \Delta$에서는 LDOS가 급격히 증가(발산) → Coherence peak.

의미: 단일 전자의 LDOS는 초전도 갭의 크기와 구조를 반영합니다. STM 실험에서는 이러한 LDOS 특성이 초전도 갭의 존재를 확인하는 데 활용됩니다.

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② 전자-정공 혼합 상태 반영

• 초전도체에서는 전자와 정공이 **Bogoliubov 준입자(Quasiparticle)**로 결합되어 존재합니다.
• 단일 전자의 LDOS는 사실상 전자-정공 혼합 상태에 대한 정보를 포함합니다.
• 따라서, 단일 전자의 LDOS를 측정하면 Bogoliubov 준입자 스펙트럼을 간접적으로 볼 수 있습니다.

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③ 결함 및 경계에서의 국소 상태 탐색

• 초전도체 내의 **결함(defect)**이나 **경계(edge)**에서는 초전도 갭이 국소적으로 붕괴하거나, **준입자 국소 상태(Andreev bound state)**가 생길 수 있습니다.
• 단일 전자의 LDOS는 이러한 국소 상태를 탐지하는 데 매우 유용합니다.

예시:

• 결함이나 비자성 불순물이 있는 초전도체에서 Yu-Shiba-Rusinov (YSR) 상태가 발생.
• LDOS에서 갭 내부의 국소적 준입자 상태로 관측됩니다.

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④ Majorana 모드 탐지

• **위상 초전도체(topological superconductor)**에서는 경계나 결함에서 Majorana zero mode가 나타납니다.
• Majorana 모드는 제로 에너지 상태로, 단일 전자 LDOS에서 **에너지 $E = 0$**에서의 피크로 관찰될 수 있습니다.

의미: 단일 전자 LDOS를 통해 위상적 경계 상태와 같은 특이 현상을 탐지할 수 있습니다.

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3. STM 실험에서의 단일 전자 LDOS 측정

**주사 터널링 현미경(STM)**은 LDOS를 실험적으로 측정할 수 있는 도구입니다. STM은 샘플의 국소적인 전자 상태를 터널링 전류를 통해 측정합니다.

$$\frac{dI}{dV} \propto \rho_e(E = eV)$$

여기서,

• $\frac{dI}{dV}$: STM에서 측정되는 미분 전류(터널링 전도도)
• $V$: STM 팁과 샘플 사이의 전압
• $\rho_e(E)$: 샘플의 LDOS

의미: STM 실험에서 측정된 $\frac{dI}{dV}$는 곧 단일 전자의 LDOS를 반영합니다.

• 초전도 갭에서 coherence peak가 나타나고,
• 결함이나 Majorana 모드에서는 갭 내부에 제로 에너지 상태가 관측됩니다.

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4. 요약

초전도체에서 단일 전자의 LDOS는 다음과 같은 의미를 가집니다:

1. 초전도 갭의 존재와 크기를 반영한다.
2. **전자-정공 혼합 상태(Bogoliubov 준입자)**의 특성을 간접적으로 보여준다.
3. 결함이나 경계 상태에서 발생하는 국소적 상태(YSR 상태, Andreev 상태)를 탐지할 수 있다.
4. Majorana 모드와 같은 위상적 특이 상태를 탐지할 수 있다.

따라서, 초전도체에서 단일 전자의 LDOS는 단순한 전자 상태를 넘어서, 준입자 스펙트럼과 초전도체의 미세한 물리적 특성을 파악하는 데 중요한 정보를 제공합니다.

안녕하세요 선배님.

LDOS에 대해 질문이 있어서 메일을 드리게 되었습니다.

전자의 LDOS를 구하는 과정을 아래와 같이 이해하고 있습니다.

1. 격자의 tight-binding 모델 (hopping energy) 구성

2. Hartree term과 chemical potential 추가

3. Hamiltonian을 대각화하여 에너지와 고유함수 구하기

4. 고유함수로 LDOS 구하기

DOS가 아래과 같은 식이라면 (E_n은 에너지 고윳값),

LDOS는 아래와 같다고 이해하고 있습니다 (psi_n은 에너지 고유함수).

또한 LDOS를 보고자 하는 이유는 아래와 같이 이해했습니다.

1. 원래 charge density n과 superconductivity order parameter delta를 비교했음

2. 기존의 BCS이론에서는 Fermi surface 근처에서 cooper pair를 형성함

3. 준결정에서 그대로 적용이 안되지만 관련성을 확인하기 위해 Fermi surface 근처에서 전자의 LDOS를 확인

는 맞음

LDOS를 Hartree 안넣고 돌리면 delta의 경향을 먼저 알아낼 수 있다.

delta function을 제대로 계산. Gaussian이나 lorentian 넣어서. 딱 fermi level에서만 본다.

전자의 LDOS는 fermi level꺼만 보면 됨.