Supercurrent Physics

May 29, 2025

Supercurrent Physics

Supercurrent is superflow of Cooper pair, with persistence and 0 resistance.

Quantum Mechanics

(Bruus, 1.1)

우선, 에너지가 다음과 같이 주어진다.

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}\hat{p}^2+\hat{V}$$

운동량 연산자는 $[x,p]=i\hbar$를 만족하여 다음과 같이 주어진다.

$$\hat{p}=-i\hbar\nabla$$

($x$ 기저에서의 표현)

$V$가 균일한 경우, 에너지 고유함수는 운동량 고유함수와 같아지며, 다음과 같이 주어진다.

$$\psi_p(x)=\langle x|p\rangle = e^{ikx}$$

($V(x+L)=V(x)$로 주기적인 경우, Bloch정리에 의해 $e^{ipx}u(x)$, $u(x+T)=u(x)$는 주기함수가 된다.)

완비성 조건에 의해 기저 사이의 변환이 자유로워진다.
$$\int dx |x\rangle\langle x|=1,\quad \int dp |p\rangle \langle p|$$

예를 들어 $\psi(x)$를 기저$p$로 변환하고 싶다면,

$$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle=\left(\int dp |p\rangle\langle p|\right)\langle x|\psi\rangle=\int dp \langle p|\psi\rangle e^{ipx} =\int dp \psi(p)e^{ipx}$$

운동에너지 연산자는 다음과 같다.

$$\hat{p}^2=\sum_p p^2|p\rangle\langle p|$$

(대각화 되어있지 않은) 일반적인 연산자는 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\hat{T}_x=\sum_{p_a,p_b}T_{p_ap_b}|p_a\rangle\langle p_b|$$

완비성 관계를 2개 대입하고 $\langle r|r'\rangle=\delta_{r,r'}$를 이용하면 반대 표현도 가능하다.

$$T_{p_ap_b}=\int dr_j T_{x}\psi^*_{p_b}(x)\psi_{p_a}(x)$$

Density and Current

(Bruus, 1.4 + GPT)

전자기장 속에 있는 단일 입자를 생각해보자. 에너지 밀도는 운동에너지로 표현된다.

$$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\sum_\sigma \psi^*(r)\left[\left( -i\hbar\nabla-qA\right)^2+q\varphi\right]\psi(r)$$

이때 밀도 연산자 $\rho(r)$는 파동함수의 제곱으로 얻어진다.

$$\rho(r)=|\psi(r)|^2$$

이를 일반적인 연산자의 형태로도 표현할 수 있다.

$$\rho(r)=\int dr'\ \psi^*(r')\delta(r'-r)\psi(r')$$

이를 연속 방정식에 대입하면 전류를 구할 수 있다.

$$\partial_t \rho +\nabla\cdot J=0$$

구체적으로, Schrodinger 방정식 $i\hbar\partial_t\psi=\hat{H}\psi$을 이용하면

$$\partial_t\rho=\partial_t(\psi^*\psi)=\psi^*\partial_t\psi+(\partial_t\psi^*)\psi=\frac{1}{i\hbar}\psi^*\hat{H}\psi-(\hat{H}\psi^*)\psi$$

이며, 이를 만족하는 전류 연산자는 다음과 같다.

$$\hat{J}=\frac{q}{2mi}[\psi^*(-i\hbar\nabla-qA)\psi-\psi(+i\hbar\nabla-qA)\psi^*]$$

한편, $A$의 게이지 변환에 의한 선형 응답의 관점으로도 유도할 수 있다.

$\mathcal{H}$항에 포함된 $A$항을 풀어내면

$$(-i\hbar\nabla-qA)^2=(-i\hbar\nabla)^2-q((-i\hbar\nabla)\cdot A+A\cdot(-i\hbar\nabla))+q^2|A|^2$$

이제 $A$에 대한 편미분 $\partial\mathcal{H}/\partial A$을 구한다.

$$-J=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial A}=-\frac{q}{2m}\left[ \psi^*(-i\hbar\nabla-aA+\psi(+i\hbar\nabla-qA)\psi^*\right]$$

이 방식에서 전류 $J$의 의미는 각 지점의 에너지$\mathcal{H}$가 $A$의 미소 변화 $\delta A$에 대한 선형 응답$\delta\mathcal{H}$이다.

즉 에너지에 다음과 같은 상호작용 항을 가정하는 것이다.

$$\mathcal{H}_\text{int}\sim -J\cdot A$$

고전적으로 생각하면, $A$가 일반화 좌표일 때 $J$는 그에 해당하는 일반화 운동량이다.

전역 $U(1)$ 변환

$$\psi(r)\rightarrow e^{i\alpha}\psi(r)$$

($\alpha$는 상수)의 관점에서 보면, 이에 해당하는 Noether 전류가 전류이다.

$$J^\mu=(|\psi|^2,\frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$$

전하 보존 법칙은 연속방정식이 된다.

$$\partial_\mu J^\mu=0,\quad \partial_t\rho + \nabla\cdot J=0$$

전류 형태를 정리하면 더욱 간단해진다.

$$\hat{J}=\frac{\hbar}{2mi}[\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*]-\frac{q}{m}|\psi|^2A$$

첫 번째 항의 경우 파동함수의 위상(phase)의 흐름을 나타내는 항이다.

왜냐하면, $\psi(r)=\sqrt{\rho(r)}e^{i\theta(r)/\hbar}$로 두었을 때, $\nabla\psi=\frac{1}{2\sqrt{\rho}}\nabla\rho e^{i\theta/\hbar}+\frac{i}{\hbar}\sqrt{\rho}(\nabla\theta)e^{i\theta/\hbar}$이며, 전류를 계산하면

$$\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*=\frac{2i}{\hbar}\rho(r)\nabla\theta(r)$$

따라서 전류에 대입하면

$$\frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)=\frac{1}{m}\rho(r)\nabla\theta(r)$$

이 전류를 paramagnetic 전류라고 하며, 전자기장이 없는 상황 $A=0$에서도 입자가 위상 기울기에 따라 흐르는 전류를 의미한다.

자유입자의 경우, $\psi\propto e^{ikr}$이므로 $\nabla\theta=\hbar k$가 되어, $j=(\hbar/m)|\psi|^2 k$가 되어 속도 $v=\hbar k/m$의 의미를 가진다.

하지만 paramagnetic 전류 자체는 게이지 불변이 아니다.

두 번째 항은 diamagnetic 전류라고 하며, 벡터퍼텐셜 $A$에 의해 생기는 흐름 $-\rho A$를 의미한다. 외부 $A$를 상쇄하기 위한 운동을 나타낸다.

전체 전류의 식은 게이지 불변이 만족된다.(안해봄)

Many Body Quantum Mechanics

(Bruus, 1.2)

다중 입자의 파동함수는 하나의 거대한 파동함수로 표현된다.

$$\psi(r_1,r_2,\cdots,r_N)$$

이는 단일입자의 기저함수 $\psi_{k}(r)$의 외적으로 이루어진다.

기저가 완비성을 가지면, 이들의 텐서곱이 $N$-입자의 Hilbert 공간의 완비 기저를 이루기 때문이다.

$$\psi(r_1,r_2,\cdots,r_N)=\sum_{k_1,\cdots,k_N}A_{k_1,\cdots,k_N}\psi_{k_1}(r_1)\cdots\psi_{k_N}(r_N)$$

동일입자 조건을 넣으려면, 입자를 교환하는 연산자를 고려해야 한다.

$$\psi(r_1,r_2,\cdots,r_N)=\sum_{k_1,\cdots,k_N}B_{k_1,\cdots,k_N}\hat{S}_\pm\psi_{k_1}(r_1)\cdots\psi_{k_N}(r_N)$$

단일입자에 각각 작용하는 연산자는 다음과 같이 정의한다.

$$T_{r_j}=\sum_{k_a,k_b}T_{k_a,k_b}|k_a\rangle\langle k_b|$$

모든 입자에 적용하는 연산자는 각 입자에 적용하는 연산자의 합으로 정의된다.

$$T_\text{tot}=\sum^N_{j=1}T_j$$

이 연산자를 N-입자 시스템의 기저상태에 적용하면 다음과 같다.

$$T_\text{tot}|k_{n_1}(r_1)\rangle\cdots|k_{n_N}(r_N)\rangle=\sum^N_{j=1}\sum_{k_ak_b}T_{k_ak_b}\delta_{k_a,k_{n_j}}|k_{n_1}\rangle\cdots|k_b\rangle\cdots |k_{n_N}\rangle$$

($\delta$는 $\langle k_a|k_{n_j}\rangle$에서 나온다)

추가적으로 두 입자간 상호작용 에너지를 고려하면 계수가 두 배가 되며, 운동에너지 항과 매끄럽게 합쳐질 수 없다.

Quantum Field

(Bruus, 1.3)

이차 양자화란, 각 입자가 가질 수 있는 각 상태에 할당된 입자의 개수들이 전체 상태를 구성하는 방식이다.

일단 운동량 공간을 입자가 가질 수 있는 상태라고 가정하겠다.

$$|n_{k_1},\cdots,n_{k_N}\rangle$$

이제 개수를 올려주거나 내려주는 연산자를 정의할 수 있다.

$$b^\dagger_{k_j}|\cdots,n_{k_j},\cdots\rangle=B_+(n_{k_j})|\cdots,n_{k_j}+1,\cdots,\cdots\rangle$$

$$b_{k_j}|\cdots,n_{k_j},\cdots\rangle=B_-(n_{k_j})|\cdots,n_{k_j}-1,\cdots\rangle$$

이를 사다리 연산자라고 한다.

사다리 연산자는 닫힌 대수를 이루게 된다.

$$b_{k_j}b^\dagger_{k_j}|0\rangle,\quad b^\dagger_{k_j}b_{k_j}|0\rangle=0$$

$$[b^\dagger_{k_j},b^\dagger_{k_i}]=0,\quad [b_{k_j},b_{k_i}]=0,\quad [b_{k_j},b^\dagger_{k_i}]=\delta_{k_i,k_j}$$

이를 통해 각 상태를 고유벡터로 가지는 숫자 연산자를 정의할 수 있다.

$$b^\dagger_kb_k|n_k\rangle=n_k|n_k\rangle$$

$$[b^\dagger_kb_k,b_k]=-b_k,\quad [b^\dagger_kb_k,b^\dagger_k]=b^\dagger_k$$

$$(b^\dagger_kb_k)b_k|n_k\rangle=(b_kb^\dagger_k-1)b_k|n_k\rangle=b_k(b^\dagger_kb_k-1)|n_k\rangle=b_k(n_k-1)|n_k\rangle$$

$$(b^\dagger_kb_k)b^\dagger_k|n_k\rangle=(n_k+1)b^\dagger_k|n_k\rangle$$

$$b_k|n_k\rangle\propto |n_k-1\rangle,\quad b^\dagger_k|n_k\rangle\propto |n_k+1\rangle$$

최종적으로 일차 양자화의 고유 상태를 이차 양자화의 언어로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\hat{S}_+|k_{n_1}(r_1)\rangle\cdots|k_{n_N}(r_N)\rangle=b^\dagger_{k_{n_1}}\cdots b^\dagger_{k_{n_N}}|0\rangle$$

이전에 살펴본 연산자를 이차 양자화의 언어로 다시 보자.

$$T_\text{tot}b^\dagger_{k_{n_1}}\cdots b^\dagger_{k_{n_N}}|0\rangle=\sum_{k_ak_b}T_{k_ak_b}\sum^N_{j=1}b^\dagger_{k_a,k_{n_j}}b^\dagger_{k_{n_1}}\cdots b^\dagger_{k_b}\cdots b^\dagger_{k_{n_N}}|0\rangle$$

사이트 $n_j$에 해당하는 사다리 연산자가 $b^\dagger_{k_b}$가 되었다. 이를 다시 원래의 $b^\dagger_{k_{n_j}}$로 바꾼다면, 좌변과 우변의 형태를 유사하게 만들 수 있다. 따라서 $k=k_{n_j}$인 상태에 집중하여, 우변의 $b^\dagger_{k_{n_j}}$와 $b^\dagger_{k_b}$만 표기해보자. (잠시 $k_{n_j}$는 $k$로 표기한다)

$$b^\dagger_{k_b}(b^\dagger_k)^{p-1}|0\rangle=b^\dagger_{k_b}(\frac{1}{p}b_kb^\dagger_k)(b^\dagger_k)^{p-1}|0\rangle=(\frac{1}{p}b^\dagger_{k_b}b_k)(b^\dagger_k)^p|0\rangle$$

(다른 $k'\ne k_{n_j}$들은 교환하므로 표기하지 않는다. $b^\dagger_{k_b}$와 $b^\dagger_k$와도 교환하는 경우를 고려하므로 한쪽으로 다 밀어버릴 수 있다. 교환하지 않는다면 $b=n_j$인 경우이다.)

위 식을 이전 $T$ 식에 대입하면, $T_\text{tot}$의 깔끔한 결과를 얻는다.

$$T_\text{tot}\left[ b^\dagger_{k_{n_1}}\cdots b^\dagger_{k_{n_N}}|0\rangle \right] =\sum_{a,b}T_{k_ak_b}b^\dagger_{k_b}b_{k_a} \left[ b^\dagger_{k_{n_1}}\cdots b^\dagger_{k_{n_N}}|0\rangle\right]$$

즉, 연산자는 다음과 같이 단순하게 표현된다.

$$T_\text{tot}=\sum_{ij}T_{k_ik_j}b^\dagger_{k_i}b_{k_j}$$

두 입자의 상호작용을 나타내는 에너지 연산자의 경우도 위와 같은 유사한 과정을 통해(안해봄) 마찬가지로 단순한 형태로 표현될 수 있다.

$$V_\text{tot}=\frac{1}{2}\sum_{ijkl}V_{k_ik_jk_kk_l}b^\dagger_{k_i}b^\dagger_{k_j}b_{k_k}b_{k_l}$$

좌표 변환의 경우, 단일 입자의 기저 변환을 그대로 적용할 수 있다.

$$\tilde{b}^\dagger_k|0\rangle=|\tilde{\psi}_k\rangle=\sum_l|\psi_l\rangle\langle\psi_l|\tilde{\psi}_k\rangle=\sum_l\langle\tilde{\psi}_k|\psi_l\rangle^*b^\dagger_k|0\rangle$$

이를 위치와 운동량 사이의 변환(Fourier 변환)에 적용할 수 있다.

$$\Psi^\dagger(r)\equiv \sum_p \psi^*_p(r)b^\dagger_p,\quad \Psi(r)\equiv \sum_p \psi^*_p(r)b_p$$

(이 때 진공이면 $\psi_p(r)=e^{ipr}$이 된다.)

이 연산자를 장 연산자라고 하며, 교환/반교환 관계를 만족한다.

$$[\Psi(r_1),\Psi^\dagger(r_2)]=\delta(r_1-r_2)$$

$$\{ \Psi(r_1),\Psi^\dagger(r_2)\}=\delta(r_1-r_2)$$

보손인지 페르미온인지에 따라 다르다.

이제 장 연산자로 에너지 연산자를 다시 표현해보자.

$$T=\sum_{k_ik_j}\left( \int dr\ \psi^*_{k_i}(r)T_r\psi_{k_j}(r)\right) b^\dagger_{k_i}b_{k_j}\\ =\int dr\left( \sum_{k_i}\psi^*_{k_i}(r)b^\dagger_{k_i}\right) T_r \left( \sum_{k_j}\psi_{k_j}(r)b_{k_j}\right) =\int dr\ \Psi^\dagger(r)T_r\Psi(r)$$

이는 단일입자 일차 양자화의 형태와 동일함을 알 수 있다.

따라서 이차 양자화는 일차 양자화를 자연스럽게 다중 입자계로 확장한 체계이다.

(일차 양자화와 다르게, 장 연산자 $\Psi$가 더 이상 교환하지 않으므로 순서에 주의해야한다.)

Free Complex Scalar Field

(Bruus, 2.1+GPT)

운동에너지만 고려할 경우, 에너지 연산자는 운동량 공간에서 간단하게 표현된다.

$$\Psi(r)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_ke^{ikr}b_k,\quad \Psi^\dagger(r)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_ke^{-ikr}b^\dagger_k$$

$$H=\int dr\ \Psi^\dagger(r)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\right)\Psi(r)=\sum_k\frac{\hbar^2k^2}{2m}b^\dagger_kb_k=\sum_k \epsilon_k b^\dagger_k b_k=\sum_k\epsilon_kn_k$$

총 에너지는 에너지 가중치 $\epsilon_k$와 점유수 $n_k$를 곱해 모든 상태 $k$에서 더한다.

$\epsilon_k=\hbar^2k^2/2m$는 고전적 파동의 경우 분산 관계로 해석할 수 있다.

심지어 상태가 운동량 모드들의 선형결합이라는 점도 동일하다.

하지만 고전적 파동의 경우 운동량 모드의 계수가 연속적이지만, 양자장의 경우 계수가 점유수로 (이차) 양자화되어있다.

바닥상태는 모든 운동량 모드에서 입자가 없는 자유 진공 상태이다.

$$b_k|0\rangle =0,\quad \forall k$$

에너지는 당연하게 0이다.

$$H|0\rangle=0|\rangle$$

밀도와 전류는 단일 입자와 동일하게 표현된다.

$$\rho(r)=\Psi^\dagger\Psi,\quad J(r)=\frac{\hbar}{2mi}\left[ \Psi^\dagger\nabla\Psi-(\nabla\Psi^\dagger)\Psi \right]$$

이를 운동량 공간으로 표현하면,

$$\rho(r)=\frac{1}{V}\sum_{k,k'}e^{i(k'-k)r}b^\dagger_{k'}b_k$$

$$J(r)=\frac{\hbar}{2miV}\sum_{k,k'}(ik+ik')e^{i(k'-k)r}b^\dagger_{k'}b_k$$

전 공간에 대한 밀도의 적분은 총 입자수가 된다.

$$Q=\sum_k b^\dagger_kb_k=\int dr\ \rho(r)=\int dr\ \Psi^\dagger\Psi$$

또한 이 연산자는 에너지와 교환하므로, 보존된다.

다른 관점에서 보면, 전역 $U(1)$ 위상 대칭

$$\Psi(r)\rightarrow e^{-i\alpha}\Psi(r),\quad \Psi^\dagger(r)\rightarrow e^{+i\alpha}\Psi^\dagger(r)$$

에 의해 에너지가 바뀌지 않으므로, Noether 정리에 의해 총 입자수가 보존된다.

이제 상호작용 항이 들어가는 경우, 바닥 상태를 정확히 찾을 수 없어 이를 근사하는 이론이 필요하다. 상호작용이 운동 에너지보다 훨씬 약할 경우에는 섭동 이론이 쓰이지만, 강할 경우는 새롭게 근사하는 이론이 필요하다.

Coherent State

(Piers Coleman, 11.4)

결맞음 상태는 장 연산자의 고유상태로, 우선 모드별 결맞음 상태를 정의하자.

$$\hat{b}_k|\beta_k\rangle=\beta_k|\beta_k\rangle$$

입자수 상태의 선형결합으로 가정하고 계수를 구하면 상태를 구체적으로 구할 수 있다.(안해봄)

$$|\beta\rangle=e^{-\frac{|\beta|^2}{2}}\sum^\infty_{n=0}\frac{\beta^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle$$

위상을 $\beta=|\beta|e^{i\varphi}$로 두었을 때,

$$|\beta\rangle=e^{-\frac{|\beta|^2}{2}}\sum^\infty_{n=0}\frac{|\beta|^n}{\sqrt{n!}}e^{in\varphi}|n\rangle$$

이므로 상태 하나당 $\varphi$의 위상이 동일하게 할당되었다.

다른 표현으로는 변위 연산자를 도입하는 방법도 있다.(안해봄)

$$|\beta\rangle=D(\beta)|0\rangle,\quad D(\beta)=\exp (\beta\hat{b}^\dagger-\beta^*b)$$

이들을 텐서곱하여 모든 모드에 걸친 결맞음 상태를 정의할 수 있다.

$$\hat{\Psi}(r)|\Psi\rangle=\psi(r)|\Psi\rangle$$

이때 $\psi(r)$는 각 모드의 고윳값 $\beta_k$를 Fourier변환한 함수다.

$$\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_k\beta_k e^{ikr}$$

이 상태는 고전장 $\psi(r)$을 기댓값으로 가지는 상태이다.

$$\langle\Psi|\hat{\Psi}(r)|\Psi\rangle=\psi(r)$$

또한 위상이 일정하다.

$$\beta_k=|\beta_k|e^{i\varphi_k},\quad \psi(r)=|\psi(r)|e^{i\theta(r)}$$

위상이 일정한 대신, 입자수가 일정하지 않다.

왜냐하면 입자수 연산자 $b^\dagger_kb_k$의 고유상태가 아니기 때문이다.

자세한 내용은 나중에 공부하겠다.

Landau Theory

(Piers Coleman, 11.2)

Landau 이론은 바닥상태를 질서변수를 이용해 근사한다.

질서변수는 거시적 관점에서 고전장 $\psi(x)$ 이고, 미시적 관점에서 양자장 연산자의 기댓값 $\langle \hat{\psi}\rangle$이다.

미시적 관점에서, 시스템의 Hamiltonian $\hat{H}$에 질서변수와 선형 연결된 외부장 $h$의 효과를 더하자.

$$\hat{H}-h\int dx\ \hat{\psi}(x)$$

Gibbs 자유에너지는 다음과 같이 구해진다.

$$G[h]=-k_BT\ln (Z[h])=-k_B T\ln \left( \text{Tr} \left[ \exp -\beta(\hat{H}-h\int dx\ \hat{\psi})\right]\right)$$

이제 $h$에 대해 편미분하면 $\langle\hat{\psi}\rangle$을 구할 수 있다.

$$\psi(h)=\frac{1}{Z[h]}\text{Tr}\left[ \hat{\psi}\exp -\beta(\hat{H}-h\int dx\ \hat{\psi})\right]=-\frac{1}{V}\frac{\partial G[h]}{\partial h}$$

(이때 부피 $V$는 공간적분에 의해 나눠주는데, 왜 $V\rightarrow \infty$조건이 필요한지는 아직 모르겠다.)

이 식을 간단히 요약하면 $-\delta G=\psi V\delta h$가 된다.

이제 h를 0으로 보내면 거시적 관점의 질서변수를 얻을 수 있다.

$$\psi=\lim_{h\rightarrow 0}\psi(h)$$

더 나아가, $h$를 $\psi$로 Legendre 변환을 한 Landau 자유에너지 $F[\psi]$를 정의하자.

$$F[\psi]=G[h]+Vh\psi=G[h]-h\frac{\partial G[h]}{\partial h}$$

이제 $\delta G=-V\psi \delta h$에 의해 $\delta F=\delta G+V\delta (h\psi)=Vh\delta \psi$가 되므로, $h=0$ 조건이 다음과 같이 바뀐다.

$$hV=\frac{\partial F}{\partial \psi}=0$$

따라서 Landau 자유 에너지 $F[\psi]$가 거시적 질서변수 $\psi$로 미분해서 0을 만족시키는 거시적 질서변수가 나타나게 된다.

Ginzburg-Landau for Superfluid

(Piers Coleman, 11.4)

on-site 상호작용이 추가된 복소 스칼라장을 고려해보자.

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hbar^2}{2m}\nabla \hat{\psi}^\dagger(x)\nabla\hat{\psi}(x)+(U(x)-\mu)\hat{\psi}^\dagger(x)\hat{\psi}(x)+\frac{u}{2}\hat{\psi}^\dagger(x)\hat{\psi}^\dagger(x)\hat{\psi}(x)\hat{\psi}(x)$$

여기서 질서변수는 $\psi(x)=\langle \hat{\psi}\rangle$로 잡는다.

이제 $\hat{\psi}$의 고유상태인 결맞음 상태 $|\psi\rangle$을 정의한다.

$$\hat{\psi}(x)|\psi\rangle=\psi(x)|\psi\rangle$$

원래는 Hamiltonian의 바닥상태를 구하여 에너지 기댓값을 구해야 한다.

하지만 우리는 결맞음 상태를 바닥상태의 유효한 치환으로 가정한다.

왜냐하면 결맞음 상태의 계산적 용이성 때문도 있지만, 모든 입자들이 같은 파동함수를 가지는 해석( 유한온도를 고려할 경우, BEC 응축 상태)이 미시적 관점과 거시적 관점을 이어주기 때문이다.

따라서 결맞음 상태로 에너지 기댓값을 구하면

$$\langle \psi |\hat{\mathcal{H}}|\psi\rangle=\mathcal{F}[\psi,\nabla\psi]$$

다음과 같은 Ginzburg-Landau 자유에너지를 가진다.

$$\mathcal{F}[\psi,\nabla \psi]=\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \psi|^2+r|\psi|^2+\frac{u}{2}|\psi|^4$$

그러면 $\frac{\partial F[\psi,\nabla\psi]}{\partial\psi}=0$을 만족하는 $\psi$가 거시적 질서변수이다.

Superflow and Phase Rigidity

(Piers Coleman, 11.4)

질서변수를 크기와 위상으로 나누어 대입하여 에너지를 자세히 분석해보자.

(공간변수 $(x)$는 생략하겠다.)

$$\psi(x)=|\psi|e^{i\phi}$$

이면 $\nabla \psi=(\nabla|\psi|+i\nabla\phi|\psi|)e^{i\phi}$이며, 따라서 Ginzburg-Landau 자유에너지는 다음과 같다.

$$\mathcal{F}=\frac{\hbar^2}{2m}|\psi|^2(\nabla\phi)^2+\left[ \frac{\hbar^2}{2m}(\nabla|\psi|)^2+r|\psi|^2+\frac{u}{2}|\psi|^4\right]$$

두 번째 항은 질서변수의 크기와 에너지에 관한 식이며, 첫 번째 항을 자세히 보자.

왜냐하면 첫 번째 항은 $|\psi|$의 경우 질량항 $r|\psi|^2$가 있는 것과 다르게, 운동에너지만 존재하기 때문이다. 따라서 장거리 스케일에서 유효 에너지로 나타나게 된다.

$$\mathcal{F}=\frac{\rho_\phi}{2}(\nabla \phi)^2+\text{const.}$$

이 항을 phase rigidity라고 하며, 계수 $\rho_\phi$를 위상 강성(phase stiffness)라고 한다.

위상 강성은 초유체 밀도와 비례하며, 위상의 운동에너지의 가중치를 의미한다.

실제 격자에서 구하려면 초유체 밀도를 구하거나, 에너지를 $\phi$에 대해 이계미분하면 구할 수 있다.

미시적 관점에서 phase rigidity는 입자의 운동에너지지만, 거시적 관점에서는 위상 꼬임에 의한 탄성에너지이다.

미시적 관점에서 입자의 전류 연산자는

$$\mathbf{J}=-i\frac{\hbar}{2m}\left(\hat{\psi}^\dagger\nabla\hat{\psi}-\nabla\hat{\psi}^\dagger\hat{\psi}\right)$$

결맞음 상태에서 기댓값을 구해보자.

$$\langle\psi|\mathbf{J}|\psi\rangle=-i\frac{\hbar}{2m}\left(\psi^*\nabla\psi-\nabla\psi^*\psi\right)$$

이제 거시적 관점에서 질서변수를 $\psi(x)=\sqrt{n_s(x)}e^{i\phi(x)}$로 대입하면 거시적 관점의 전류를 알 수 있다.

$$\mathbf{J}_s=n_s\frac{\hbar}{m}\nabla\phi$$

이를 superflow라고 한다.

우리가 원래 알던 입자의 흐름은 바닥 상태의 들뜸으로 표현된다. 하지만 superflow는 거시적 위상의 운동량을 의미하기 때문에, 입자 하나하나가 아닌, 전체 입자들의 연속적인 변화가 된다.

Ginzburg-Landau in EM field

(Piers Coleman, 11.5)

파동함수의 위상은 게이지 변환에 의해 회전한다.

$$\psi(x)\rightarrow \psi(x)e^{i\alpha(x)},\quad \mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}+\frac{\hbar}{e}\nabla \alpha$$

따라서 전자기장을 도입하는 것이 자연스럽다.

퍼텐셜 에너지에 $e\varphi(x)$가 더해지고, 운동량에 $-i\frac{e}{\hbar}\mathbf{A}$가 더해진다.

또한 전류의 또 다른 정의가 가능해진다.

$$\mathbf{J}(x)=-\frac{\delta H}{\delta A}$$

따라서 superflow 식도 바뀌게 된다.

$$\mathbf{J}(x)=en_s\frac{\hbar}{m}\left(\nabla\phi-\frac{e}{\hbar}\mathbf{A} \right)$$

그런데, superfluid는 거시적 질서변수 $\psi$의 위상이 물리적 양이다.

즉, 입자수(총 전하량) 보존에 해당하는 전역 U(1) 게이지 대칭성이 깨진다.

Broken Symmetry and Noether Current

(GPT)

전역 U(1)대칭성을 깬 $\phi$는 $J\propto \nabla\phi$이기 때문에 연속방정식에 의해 파동방정식을 만족하게 된다. 이를 Goldstone-Nambu모드라고 한다. 또한 Superflow는 전역 U(1)대칭에 해당하는 Noether전류이며, Lagrangian이 대칭성을 가지기 때문에 보존된다.

아래는 GPT가 정리한 자세한 설명이다.

1. 전역 U(1) 대칭 변환과 Noether 전류

장(場) 이론의 라그랑지안
보손 계를 파동함수 필드 $\psi(\mathbf r,t)$ 로 기술할 때,
$\mathcal L = i\hbar\,\psi^*\,\partial_t\psi -\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla\psi|^2 -V(|\psi|^2)$
이 전역 위상 변환
$\psi\to e^{i\alpha}\psi,\;\psi^*\to e^{-i\alpha}\psi^*$ 에 불변(대칭)이라면,
Noether 전류 $j^\mu$
$j^0(\mathbf r,t) = \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_t\psi)}\,\delta\psi = |\psi|^2, \quad \mathbf j(\mathbf r,t) = \frac{\hbar}{m}\,|\psi|^2\,\nabla\phi \quad(\psi=|\psi|e^{i\phi}).$
이 전류는 $\partial_\mu j^\mu=0$ 즉 $\partial_t j^0+\nabla\!\cdot\!\mathbf j=0$ 을 만족합니다.

2. 생성자 $Q$ 의 정의

Noether charge
시간 성분 $j^0$ 를 공간 전체에 적분한 것이 “전역 대칭의 생성자”입니다:
$Q \;=\; \int d^dr\;j^0(\mathbf r,t) = \int d^dr\;|\psi(\mathbf r,t)|^2 = \hat N$
여기서 $\hat N$ 은 전체 입자수 연산자(number operator)입니다.
보존성
$\partial_t Q = \int d^dr\,\partial_t j^0 = -\int d^dr\,\nabla\!\cdot\!\mathbf j = 0$
(경계에서 $\mathbf j\to0$ 가정) 이므로 $Q$ 는 시간에 보존됩니다.

3. 생성자의 연산자 작용

필드와의 교환관계
전역 U(1) 변환을 “무한소로” 써 보면
$\psi\to \psi + i\alpha\psi$ .
이 변환은 생성자 $Q$ 와의 교환 관계로
$[Q,\;\hat\Psi(\mathbf r)] = -\hbar\,\hat\Psi(\mathbf r) \quad\Longrightarrow\quad \delta\hat\Psi = \frac{i}{\hbar}[Q,\hat\Psi] = i\,\hat\Psi$
와 같이 표현됩니다.
진공(바닥상태)에서의 작용
- 대칭 보존 상(normal): $Q|0\rangle = 0$ (진공이 입자수 0)
- 대칭 깨짐 상(superfluid): $Q|\mathrm{SF}\rangle \neq 0$ , 즉 진공이 입자수를 확정하지 않아 $Q$ 가 진공을 바꿈 → 자발 대칭 깨짐

4. 골드스톤 모드와 생성자의 관계

NG 모드 생성자
$Q(\epsilon) = \int d^dr\;\epsilon(\mathbf r)\,j^0(\mathbf r)$
와 같이 국소적으로 가중함수를 주면, 골드스톤 장 $\phi(\mathbf r)$ 를 일으키는 연산자가 됩니다.
저에너지 흥분 생성
$Q(\epsilon)$ 를 진공에 작용시키면
$\phi$ -파동(Phase phonon)이 만들어지며, 이는 에너지 갭 없이 생성됩니다.

5. 초유체에서 $Q$ 의 물리적 의미

$Q=\hat N$ 은 “계에 들어 있는 응축 보손 수”를 의미하면서,
그 보존성( $\partial_t Q=0$ )이 곧 superflow 의 질량 보존(continuity equation)과 일치합니다.
자발 대칭 깨짐 단계에서는 $Q$ 가 진공을 바꾸지만(진공의 입자수 분포 변화), 역학 방정식 자체는 여전히 $Q$ 대칭을 유지하므로 Noether 전류가 보존됩니다.

결론

생성자 $Q$ 는 전역 U(1) 대칭의 Noether charge 로, 전체 입자수 연산자 $\hat N$ 에 해당합니다.
$Q$ 는 필드에 대해 $[Q,\psi]=-\hbar\psi$ 의 교환관계를 갖고, 이를 통해 U(1) 변환 $\psi\to e^{i\alpha}\psi$ 를 발생시킵니다.
초유체상에서 $Q\neq0$ 인 진공은 자발 대칭 깨짐을 의미하며, 그 보존성은 영구적 비저항 흐름(superflow)의 근원입니다.

BCS Superconductor

(Piers Coleman, 14.3)

(Bruus, 4.5)

스핀 1/2를 가지는 페르미온 연산자 $\hat{c}_{i\sigma}$에 대해 질서변수는 서로 다른 스핀의 곱으로 정의한다.

$$\Delta_i=\langle \hat{c}_{i\uparrow}\hat{c}_{i\downarrow}\rangle$$

이를 (Cooper) Pair라고 부르며, 미시적으로는 Boson의 통계를 가진다.

따라서 이전의 superfluid 논의가 그대로 사용되며, 물론 구체적인 에너지 형태는 다르다.

(추가적으로 $c$의 위상 회전의 2배만큼 회전한다)

Hubbard Model에서 Mean-field approximation을 거친 에너지는 $c$에 대한 quadratic으로 나타난다.

$$\mathcal{H}=\hat{T}+\sum_i[\Delta_i\hat{c}^\dagger_{i\uparrow}\hat{c}^\dagger_{i\downarrow}+\text{h.c.}]$$

BdG 방정식을 반복하여 풀면서 최소 자유에너지를 가지도록 $\Delta$를 수렴시킬 수 있다.

질서변수 $\Delta$에 대한 자유에너지 $\mathcal{F}$의 형태는 복잡할 것이다.

$$\mathcal{F}(\Delta)=\int dx a\Delta^*(x)\nabla^2\Delta(x)+b|\Delta(x)|^2+c|\Delta(x)|^4+\cdots$$

(원래 에너지가 위상을 회전하는 전역 $U(1)$ 대칭을 가지기 때문에 대칭적인 항만 표시)

이 에너지 지형이 $\Delta=0$을 극소점으로 가진다면 초전도 현상은 일어나지 않는다.

하지만 그렇지 않고, 운동에너지를 가진다면, 초유동이 발생한다.

$\Delta$의 운동은 쌍을 이룬 두 전자가 함께 운동(간단하게 질량중심이 운동)함을 의미한다.

공간적으로 균일한 s-wave의 경우 $k$와 $-k$가 쌍을 이루어 운동을 하지 않는다.

하지만 불균일이 존재한다면 운동량을 가지고 $\Delta$가 운동하게 된다.

추가적으로, 원래 에너지가 국소 게이지 불변이므로 새 에너지도 국소 게이지 불변이고,

$$\Delta^\dagger(-i\hbar\nabla-eA)^2\Delta$$

가 포함되게 된다. 이후 내용은 Superfluid와 같다.

즉, 바닥 상태로 가정하는 결맞음 상태 (더 공부)

$$|\Delta\rangle=\exp (\Delta)|0\rangle$$

($\Delta$가 아님)

는 입자수 보존(전역 $U(1)$대칭)을 깨게 되며, 전류가 흐르게 된다.

에너지 식은 대칭성을 여전히 가지기 때문에 전류는 보존된다.

Superfluid Stiffness

(Piers Coleman, 14.8 + GPT)

정리중..

$$H=\int dr |J(r)|^2$$형태가 존재하며, 이 항이 전류를 최소화되도록 만든다.

즉 $\nabla \phi$가 $A$를 상쇄시키도록 $\phi$가 수렴되며, 전류를 $0$으로 만든다.

하지만 링 형태의 경우+ $B$가 $2\pi$의 반정수일때는 항상 $J$를 0으로 만들지 못할 때, 초전류가 흐른다.

근데 연속방정식은 왜 만족 안함?

그냥 수렴을 덜한거같은데..

2. **준입자(quasiparticle) 스펙트럼**

이 해밀토니안을 대각화하면 에너지 $E_n$를 갖는 Bogoliubov 준입자 상태들이 나오며, 그 스펙트럼은

$$E_n = \sqrt{\xi_n^2 + |\Delta|^2}\,$$

와 같이 \*\*페어링 갭 $|\Delta|$\*\*을 갖습니다. $\xi_n$은 단일 입자 자유 에너지 편차(즉, $\varepsilon_n - \mu$)입니다.

3. **격자 위상이 있는 경우** Peierls 치환을 통해 외부 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A$를 도입하면, 여전히 에너지 스펙트럼은 준입자 갭을 유지하면서

$\Delta e^{i\phi(\mathbf r)}$의 위상 꼬임 상태로 전환될 뿐이며, 갭이 닫히지 않습니다.

## 2. 전류의 영속성: 스펙트럼 갭과 흡수 불가능성

1. **초전류는 바닥 상태의 기대값**

초전류 연산자 $\hat J$의 기대값은 BdG 바닥 상태(모든 $E_n<0$ 준입자 상태가 채워진 상태)에서 계산됩니다.

$$ J_s = \langle \text{GS} | \hat J | \text{GS} \rangle$$

여기서 $\text{GS}$는 Cooper 쌍이 모두 응축된 바닥 상태입니다.

2. **갭이 닫혀야만 소산 과정 발생**

전류가 저항을 만나 소산(dissipation)되려면, 바닥 상태에서 다른 들뜬 상태로 전이(흡수)할 수 있어야 합니다.

그러나 BdG 준입자 스펙트럼이 $|\Delta|$만큼의 **에너지 갭**을 갖기 때문에, 외부에서 준입자 생성 없이(작은 전압·전류 변동만으로) 준입자 전이를 일으킬 수 없습니다.

즉,

$$ \text{에너지 흡수} \;\ge\; 2|\Delta| \quad\Rightarrow\quad \text{저에너지 교란에 무응답}$$

결과적으로 낮은 전압(전위차)·작은 교란에서는 **준입자를 생성하지 못해 소산 경로가 막힙니다**.

3. **위상 강체성(phase rigidity)**

바닥 상태의 위상 $\phi$를 살짝 꼬아 주어도(작은 $\nabla\phi$) 바닥 상태는 새로운 준정적(diabatic) 상태로 변하며, 에너지 갭을 유지한 채로 **새로운 바닥**이 됩니다.

즉, 위상 변화가 소산 없이 “쭉” 이어져도 시스템은 항상 준바닥 상태에 머무르므로 전류가 흘러도 에너지를 잃지 않습니다.

Normal Current vs Super Current

(GPT)

## 1. Tight-binding 모델에서의 전류

### 1.1. Peierls 치환을 포함한 해밀토니안

$$H_{\rm TB}= -t\sum_{\langle i,j\rangle,\sigma}\bigl(e^{i\theta_{ij}}\,c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + \mathrm{h.c.}\bigr) -\mu\sum_{i,\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{i\sigma},$$

* $\theta_{ij}=\tfrac{e}{\hbar}\int_{\mathbf r_j}^{\mathbf r_i}\!\mathbf A\cdot d\mathbf r$

* $\mathbf A$는 벡터 퍼텐셜

### 1.2. 전류 연산자

Peierls 위상에 대한 편미분으로 정의:

$$\hat J_{ij}= -\frac{\partial H_{\rm TB}}{\partial A_{ij}}= \frac{ie\,t}{\hbar}\sum_\sigma \bigl(e^{i\theta_{ij}}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}-e^{-i\theta_{ij}}c_{j\sigma}^\dagger c_{i\sigma}\bigr).$$

### 1.3. 기대값(평균 전류)

열평형 상태 혹은 페르미 분포 $f(\varepsilon_k)$ 하에서

$$J_{ij}= \langle \hat J_{ij}\rangle= \frac{2e\,t}{\hbar}\,\Im\Bigl[\langle c_{i}^\dagger c_{j}\rangle\,e^{i\theta_{ij}}\Bigr].$$

* $\langle c_i^\dagger c_j\rangle$는 단일 입자 그린 함수 혹은 페르미 분포로부터 계산

* 외부 전기장·온도·산란(time $\tau$)에 민감 → **저항성**

### 1.4 상관함수 해석

Δ=0인 Tight-binding 모델에서 가장 기본이 되는 상관함수는

$$G_{ij} \;=\; \langle c_{i}^\dagger\,c_{j}\rangle$$

입니다. 이 값은 열평형 상태에서 페르미 분포 $f(\varepsilon_k)$에 따라 결정되며,

$\displaystyle G_{ij} = \frac{1}{N}\sum_k e^{ik\cdot(r_j-r_i)} f(\varepsilon_k)$ 로 쓸 수 있습니다.

**특징**

1. **단일전자 분포**에 의존: 전자의 점유도가 바뀌면 즉시 $G_{ij}$가 변화

2. **긴 거리에서 지수 함수적으로 감쇠**: 산란이 많거나 온도가 올라가면 전자 코히어런스가 깨져 $G_{ij}\to0$이 빠르게 일어남

3. **산란(resistive) 경로**: 외부 전계나 불순물에 의해 전자의 위상이 어지럽혀지면 $G_{ij}$가 손실되고, 그로 인해 전류가 소산(dissipate)됩니다.

이 때문에 정상 상태 전류 $J_n\propto \Im[G_{ij}e^{i\theta_{ij}}]$는 외부 교란‧온도‧결함에 민감하며, **Ohm 법칙**에 따른 감쇠(저항)를 갖습니다.

## 2. BdG 모델에서의 초전류

### 2.1. BdG 평균장 해밀토니안

$$H_{\rm BdG}=\sum_{ij} \begin{pmatrix}c_{i\uparrow}^\dagger & c_{i\downarrow}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathcal H_{ij} & \Delta_i\,\delta_{ij}\\ \Delta_i^*\,\delta_{ij} & -\mathcal H_{ij}^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\c_{j\downarrow}^\dagger\end{pmatrix},$$

$$\mathcal H_{ij}= -t\,e^{i\theta_{ij}}\delta_{\langle i,j\rangle}-\mu\,\delta_{ij}, \quad\Delta_i = |\Delta|\,e^{i\phi_i}.$$

### 2.2. 같은 전류 연산자

$$\hat J_{ij}= -\frac{\partial H_{\rm BdG}}{\partial A_{ij}}= \frac{ie\,t}{\hbar}\Bigl(e^{i\theta_{ij}}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}-\mathrm{h.c.}\Bigr),$$

(형태는 tight-binding과 동일)

### 2.3. Bogoliubov 준입자 기대값

준입자 파동함수 $(u_{n,i},v_{n,i})$로

$$J_{ij}= \langle\hat J_{ij}\rangle= \tfrac{2e\,t}{\hbar}\,\Im\Bigl[\chi_{ij}\,e^{i\theta_{ij}}\Bigr],$$

$$\chi_{ij}=\sum_n\Bigl(u_{n,i}^*u_{n,j}\,f(E_n) +v_{n,i}v_{n,j}^*\,[1-f(E_n)]\Bigr).$$

* $\chi_{ij}$는 전자/홀 성분의 조합(pair correlator)

* $\Delta\neq0$일 때 $\chi_{ij}$에 위상 $\phi$가 반영 → **초전류**

### 2.4. 초전류의 쌍 상관함수 (Pair correlator)

* Δ≠0인 BdG 해밀토니안에서는 전자–홀 성분을 모두 포함한 **pair correlator**

$$\chi_{ij} = \sum_n\Bigl(u_{n,i}^*\,u_{n,j}\,f(E_n) \;+\;v_{n,i}\,v_{n,j}^*\,[1-f(E_n)]\Bigr)$$

가 초전류를 만드는 핵심 상관함수입니다. 한편 미시적으로는

$$ F_{ij} \;=\;\langle c_{i\downarrow}\,c_{j\uparrow}\rangle \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta_{ij} $$

와 같은 **anomalous 평균**이 쌍 응축을 나타냅니다.

* **특징**

1. **위상 일관성(coherence)**: 모든 $F_{ij}$가 동일 위상 $\phi$를 공유

2. **장거리 상관(long-range order)**: 한 번 쌍 응축이 생기면 $F_{ij}$가 무한 거리까지 느리게 감쇠하거나 일정 크기를 유지

3. **스펙트럼 갭**: 준입자 스펙트럼에 Δ만큼의 갭이 있어, 외부 교란으로 쌍이 깨지거나 준입자를 생성하기 어려움

이로 인해 초전류 $J_s\propto \Im[\chi_{ij}e^{i\theta_{ij}}]$는 **위상 기울기**만 있으면 에너지 소산 경로가 차단되어, **R=0**로 영속적으로 흐릅니다.

## 3. 저항성 vs. 무저항성의 본질

* **정상 전류**는 전자 한 개씩 움직이기 때문에

1. **산란**(전자–격자, 전자–불순물, 전자–전자)로 인해 위상 정보가 손실

2. **에너지 분산**(dissipation) 경로가 열려 있어, 작은 교란에도 전류가 감쇠

* **초전류**는 **Cooper 쌍 전체**가 응집된 일종의 보손 유체(superfluid)로 움직이므로

1. **스펙트럼 갭**이 준입자 흡수를 막아 — 낮은 에너지 교란에서는 절대 쌍이 깨지지 않음

2. **위상 강체성**이 존재하여 위상을 살짝 꼬아도 새로운 바닥 상태로 부드럽게 이동 — 소산 경로 자체가 없음

즉, 초전류의 무저항성은 “쌍이 깨지지 않는다 → 소산할 수 있는 유효한 상태 전이가 존재하지 않는다”는 BdG 스펙트럼 구조에서 기인합니다.

이후 공부 방향

Temperature가 시스템에 어떤 영향을 주는지 zero-tem과 finite-tem을 비교하여 이해한다.

Path Integral과 Green Function을 공부해 correlator를 주기적 격자에서 구하고 해석한다.

Electron-hole Pair에 대해 domain wall 관점, Nambu-Gro'kov Green Function을 공부한다.

Phase Stiffness를 직접 구하고 해석한다.

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